Variável Instrumental

Existem cenários em que é inviável controlar totalmente o viés de variável omitida $U$. Nestes casos, problemas comuns incluem:

• Confundimento Não Observado: A impossibilidade de coletar ou mensurar todas as variáveis de confusão que afetam tanto o tratamento quanto o resultado.

• Não-Adesão (Imperfect Compliance): A impossibilidade de garantir que todos os indivíduos designados ao grupo de tratamento efetivamente o recebam.

Nestes cenários, a variável não observada $U$ exerce influência sobre o tratamento $D$ e o resultado $Y$, enviesando as estimativas de OLS (Mínimos Quadrados Ordinários):

A solução é utilizar uma Variável Instrumental $Z$, que atua como uma fonte de variação exógena para $D$:

A abordagem de IV isola a variação em $D$ que é induzida exclusivamente por $Z$, "limpando" a influência de $U$.

Premissas

Para que o estimador de IV seja consistente e identifique o efeito causal, quatro premissas devem ser satisfeitas:

1. Relevância: O instrumento $Z$ deve ter uma correlação forte com o tratamento $D$. Se o instrumento for "fraco", as estimativas serão imprecisas e enviesadas.

   • Como verificar: No Primeiro Estágio, avalia-se a Estatística F. A regra de bolso clássica sugere que $F>10$ para descartar instrumentos fracos.

2. Exogeneidade / Independência: O instrumento $Z$ deve ser "tão bom quanto aleatório". Ele não pode estar correlacionado com nenhuma variável omitida ($U$) no modelo do resultado.

   • Como verificar: Não há teste estatístico direto (pois $U$ não é observado). Depende de argumentação teórica e desenho do estudo.

3. Restrição de Exclusão: O instrumento $Z$ deve afetar o outcome $Y$ única e exclusivamente através do tratamento $D$. Não pode existir um caminho direto $Z\to Y$.

   • Desafio: Requer conhecimento e embasamento no domínio de negócio a ser tratado.

4. Monotonicidade: O instrumento deve afetar todos os indivíduos na mesma direção. No contexto de experimentos, isso significa que não existem "desafiadores" (defiers) — pessoas que fazem exatamente o oposto do que o instrumento sugere.

Aplicações Principais

1. Correção de Experimentos (RCTs): Para lidar com imperfect compliance. Quando $Z$ é a oferta aleatória do tratamento e $D$ é o uso efetivo. Como a oferta é aleatória, ela serve como um instrumento perfeito para o uso.

2. Estudos Observacionais: Quando não houve randomização e suspeita-se de endogeneidade. O instrumento funciona como um "experimento natural", introduzindo uma aleatoriedade na atribuição de $D$ que o pesquisador não pôde controlar.

O instrumento provoca um choque exógeno em $D$, gerando uma variação "limpa" (independente de $U$).

Estágios e o Estimador de Wald

O efeito causal Local Average Treatment Effect (LATE) via IV pode ser calculado através da decomposição em dois estágios:

1. Primeiro Estágio (Impacto no Tratamento):

   Regredimos o tratamento $D$ no instrumento $Z$. O coeficiente $\pi$ representa a taxa de adesão ou a força do instrumento.

   $$D={\alpha }_1+\pi Z+e_1$$

2. Forma Reduzida (Intenção de Tratar - ITT):

   Regredimos o resultado $Y$ diretamente no instrumento $Z$. O coeficiente $\gamma$ mostra o efeito causal da atribuição (oferta) do instrumento sobre o resultado.

   $$Y={\alpha }_2+\gamma Z+e_2$$

3. Cálculo do LATE (Estimador de Wald):

   O efeito causal do tratamento em quem foi afetado pelo instrumento é a razão entre a Forma Reduzida e o Primeiro Estágio:

import statsmodels.formula.api as smf


# 1. Primeiro Estágio: Efeito de Z em D
# O coeficiente de Z aqui é a taxa de adesão
first_stage = smf.ols('D ~ Z', data=df).fit()
den = first_stage.params['Z']


# 2. Forma Reduzida: Efeito de Z em Y
# O coeficiente de Z aqui é o ITTE
reduced_form = smf.ols('Y ~ Z', data=df).fit()
num = reduced_form.params['Z']

# Cálculo do Wald, ou LATE
wald_estimator_sm = num / den

print(f"Numerador (ITTE): {num}")
print(f"Denominador (Compliance): {den}")
print(f"Efeito Causal (Wald): {wald_estimator_sm}")

Mínimos Quadrados em Dois Estágios (2SLS)

O método 2SLS é a generalização do estimador de Wald para casos com múltiplos instrumentos ou variáveis de controle ($X$).

1. Primeiro Estágio (Purificação de $D$):

   Projeta-se o tratamento $D$ sobre o instrumento $Z$ e controles $X$ para obter os valores preditos $\hat{D}$.

   $$\hat{D}=\hat{\alpha }+\hat{\pi }Z+\hat{\varphi }X$$

2. Segundo Estágio (Estimação Causal):

   Regride-se $Y$ sobre os valores "limpos" $\hat{D}$ e os controles $X$.

   $$Y={\beta }_0+{\beta }_{2SLS}\hat{D}+{\beta }_{1}X+\epsilon$$

A intuição aqui é a decomposição da variância. A variável de tratamento original $D$ possui dois componentes de variação:

1. Uma parte endógena, correlacionada com $U$
2. Uma parte exógena, induzida pelo instrumento $Z$

Ao rodarmos o primeiro estágio e calcularmos $\hat{D}$, estamos isolando apenas a variação em $D$ que é explicada por $Z$. Como $Z$ é não correlacionado com $U$, $\hat{D}$ também será independente de $U$.

Portanto, o segundo estágio utiliza uma versão "limpa" do tratamento. Ao regredir $Y$ em $\hat{D}$, eliminamos a contaminação do viés de seleção, permitindo que o OLS estime o efeito causal verdadeiro.

from linearmodels.iv import IV2SLS

# Fórmula: Y ~ Controles + [Endogeno ~ Instrumento]
# O "1" representa a constante (intercepto)
formula = 'Y ~ 1 + X + [D ~ Z]'

model = IV2SLS.from_formula(formula, df)
result = model.fit()

print(result)